窗函数的小知识

前几天，有朋友问我XL2的FFT功能下面这个功能是干嘛用的？我当时简单的解释了下这是窗函数，后来想想还是详细的整理了下，所以有了这篇文章：

FFT 的窗函数页面

其实，在之前的快速傅里叶变换FFT的文章中，我们已经提到了窗函数的概念：数字信号处理中通常是取其有限的时间片段进行分析，而不是对无限长的信号进行测量和运算。具体做法是从信号中截取一个时间片段，然后对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的。在FFT分析中为了减少或消除频谱能量泄漏及栅栏效应，可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数称为窗函数，其在频谱分析、滤波器设计、波束形成、以及音频数据压缩等方面有广泛的应用

泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，对于窗函数的选用总的原则是，要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题，尽可能使窗函数频谱中的主瓣宽度应尽量窄，以获得较陡的过渡带；旁瓣衰减应尽量大，以提高阻带的衰减，但通常都不能同时满足这两个要求。频谱中的如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。

不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的加窗处理，重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。图1是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低，

几种常用的窗函数的比较

1. 汉宁（Hann）窗，有时也称为 “Hanning” 窗

特点：又称升余弦窗，可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sinc（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。它与矩形窗相比，泄漏、波动都减小了,并且选择性也提高。

汉宁（Hann）窗，有时也称为 “Hanning” 窗

应用场合：如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小，或者被测信号是随机或者未知时，选择汉宁窗。

2. Dolph-Chebyshev窗

特点：Dolph-Chebyshev窗是一种局部优化的时窗函数，他满足窗函数的最大振幅比准则，即在规定旁瓣电平的条件下，主瓣宽度最小。其主瓣峰值与旁瓣峰值之比可根据实际需要自由选择，其可以通过调节形状参数，减少旁瓣电平，从而减小不同谐波分量之间的泄露的干扰，提高估算精度，尤其是对弱信号分量更为明显。在给定旁瓣高度下，Dolph-Chebyshev窗的主瓣宽度最小，具有等波动性，也就是说，其所有的旁瓣都具有相等的高度，比通常的时窗函数具有明显的优点

Dolph-Chebyshev窗

应用领域：分析信号中的弱分量，适合于高准确度谐波分析

3. 矩形窗Rectangle

特点：矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。频率识别精度最高，幅值识别精度最低。

矩形窗Rectangle

应用场合：如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等，也可以用在阶次分析中。

4. 海明窗（汉明窗）Hamming
特点：与汉宁窗都是余弦窗，又称改进的升余弦窗，只是加权系数不同，使旁瓣达到更小。但其旁瓣衰减速度比汉宁窗衰减速度慢。

海明窗（汉明窗）Hamming

应用场合：与汉明窗类似，也是很有用的窗函数。

5. 平顶窗FlapTop

特点：平顶窗在频域时的表现就象它的名称一样有非常小的通带波动。

平顶窗FlapTop

应用场合：由于在幅度上有较小的误差，所以这个窗可以用在校准上。

6. Blackman窗

特点：二阶升余弦窗，主瓣宽，旁瓣比较低，但等效噪声带宽比汉宁窗要大一点，波动却小一点。频率识别精度最低，但幅值识别精度最高，有更好的选择性。

Blackman窗

应用场合：常用来检测两个频率相近幅度不同的信号。

7. 高斯窗Gaussian

特点：是一种指数窗。主瓣较宽，故而频率分辨力低；无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达-55dB。常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。

高斯窗Gaussian

应用场合：对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。