张海平.北斗三号中长基线RTK卡尔曼滤波算法

北斗三号中长基线RTK卡尔曼滤波算法

张海平

山东省国土测绘院

摘要

针对BDS-3星座的中长基线实时动态定位，该文提出了一种基于组合观测值的实时动态(RTK)卡尔曼滤波定位算法。忽略差分模型后的大气延迟残差影响，以位置参数和组合观测值的双差模糊度作为状态向量进行滤波估计，并采用最小二乘模糊度降相关平差(LAMBDA)方法搜索固定模糊度，将模糊度固定后的组合观测值当作高精度的“伪距”观测值直接进行定位解算。通过山东省35~65 km基线数据测试结果表明：BDS-3超宽巷滤波定位的模糊度固定率基本接近100%，其平面精度为厘米级，高程精度为分米级；BDS-3宽巷滤波定位的模糊度固定率高达99.2%以上，其平面和高程精度均为厘米级。

本

文

目

录

0 引言

1 BDS三频线性组合特性

2 中长基线卡尔曼滤波算法

3 附加模糊度参数的卡尔曼滤波模型

4 算例分析

5 结束语

0

引言

北斗卫星导航系统(BeiDou navigation satellite system，BDS)是我国着眼于国家安全和经济社会发展需要，自主建设运行的全球卫星导航系统(global navigation satellite system，GNSS)，坚持“自主、开放、兼容、渐进”的原则，稳步推进北斗系统建设发展，形成了“三步走”发展战略[1]：2003年，建成BDS-1系统，由3颗地球静止轨道(geostationary Earth orbit，GEO)卫星组成，为中国区域提供服务；2012年，建成BDS-2系统，包括5颗GEO卫星、5颗倾斜地球同步轨道(inclined geo-synchronous orbit，IGSO)卫星以及4颗中圆地球轨道(medium Earth orbit，MEO)卫星，为亚太地区提供服务；2018年12月27日，BDS-3全球系统初步建设完成。BDS-3系统由3GEO+3IGSO+24MEO共30颗卫星组成，截至2020年3月，已发射29颗，2020年5月计划发射最后1颗，具备了向全球范围提供服务能力。为了更好地与GNSS兼容、BDS-3与BDS-2相比改变两个频点，3个民用频点为B1C(1 575.42 MHz)、B2a(1 176.45 MHz)和B2b(1 207.14 MHz)[2]。

目前，GNSS实时动态(real-time kinematic，RTK)定位作为高精度导航定位的主要方式得到了广泛应用。随着全球GNSS的发展、尤其美国GPS系统第三频点L5和我国BDS全系统三频点的播发，国内外三频RTK定位算法成为相关领域研究热点，一是基于无几何模型的常规三频模糊度解算(three carrier ambiguity resolution，TCAR)方法[3-6]；二是基于几何模型的最小二乘模糊度降相关平差(least-square ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA)法[7-9]。常规TCAR法先将每颗卫星作为独立解算单元求解相位距离、再用精确的相位值定位，从伪距观测值开始作为距离基准解算超宽巷模糊度，超宽巷观测值作为基准解算宽巷模糊度，宽巷观测值作为基准解算基本频点模糊度，每步模糊度固定的关键是采用浮点解直接取整法固定[3]；几何模型LAMBDA法将所有卫星的观测方程组成一个整体几何模型，再用LAMBDA法搜索模糊度。以上两种算法都遵从超宽巷、宽巷和基本频点波长逐级递推的模式，主要针对GNSS在用频点短基线(小于15 km)上的快速定位，对于BDS-3新增频点观测值定位算法和精度，尤其是直接用于中长基线(30~70 km)定位效果的研究较少。

1 BDS三频线性组合特性

BDS系统是全球首个全星座播发三频的导航系统，通过线性组合三频相位观测值，可以获得长波长、弱电离层延迟、低观测噪声等特点的组合观测值[10]。中长基线由于差分后仍存留少量大气延迟残差，需要选择长波长、低噪声和延迟的组合值，为了保证模糊度的整周特性利于固定需要进行整数线性组合。表1给出了BDS-2与BDS-3新信号频率和波长。

表1 信号频率和波长

从表1中可知，BDS-3新增了B1C 和B2a 频点，利于和GPS、Galileo系统等的兼容，并且与BDS-2在频点B2b上重叠。

1.1 线性组合

设BDS-3频率分别为f1、f2、f3，波长为λ1、λ2、λ3，整数系数为l、m、n，则以周为单位的相位观测值组合为：

式中：φ表示相位观测值；i为频点。进而以米为单位相位组合观测值为：

式中：

式中：c表示光速；N表示整周模糊度。组合后的以米为单位的一阶电离层延迟系数和载波相位观测噪声因子为：

通常假设BDS频率的原始伪距或载波相位观测值之间的精度相同，即：

式中：σ表示以米为单位的相位观测噪声。根据误差传播定律，得到组合之后以米为单位的载波相位噪声为：

1.2 超宽巷/宽巷组合观测值特性

实际定位中，综合定位精度和解算难度因素，通常选择波长大、大气延迟和观测噪声小的组合值，按波长的大小可分为超宽巷(extra wide lane，EWL)、宽巷(wide lane，WL)、窄巷(narrow lane，NL)，表2给出一些常用的北斗系统组合观测值及特性，可以看出BDS-3的EWL波长是BDS-2的2倍，但电离层延迟增大幅度很小，易于中长基线定位解算，综合分析选取超宽巷(0，-1，1)和宽巷(1，-1，0)进行定位较优。

表2 BDS超宽巷/宽巷观测值

2 中长基线卡尔曼滤波算法

常规的RTK由于基线距离较近，站星间的差分技术消除了卫星钟差和接收机钟差，大大削弱了大气延迟误差的影响，可以通过超宽巷或宽巷组合观测值对窄巷进行约束，进而进行高精度定位；对于中长基线差分后仍残留少量大气延迟的残差，窄巷模糊度很难固定，但超宽巷或宽巷具备波长较长的优势，受大气延迟残差影响很弱，其整周模糊度更容易固定[11-12]。

超宽巷和宽巷以米为单位的站星间双差观测方程为：

式中：ΔΔ表示站星间差分；p、q表示卫星；ρ表示接收机与卫星间几何距离；λ表示波长；trop表示对流层延迟；ion表示双差电离层延迟；σ表示观测噪声及多路径效应误差。

由于超宽巷和宽巷模糊度容易固定，当组合观测值的双差模糊度ΔΔNpqi固定之后，便可对组合观测值进行改正：

式中：表示模糊度改正后的组合观测值；ΔΔpqi表示双差模糊度固定解。

改正后的组合观测值为高精度的伪距观测值，便可直接进行定位解算。由于超宽巷和宽巷组合观测值的波长较长，采用忽略大气延迟误差影响。故最终的定位模型可以表示为：

式中，只包括三维坐标参数。

3 附加模糊度参数的卡尔曼滤波模型

组合观测值的RTK卡尔曼滤波状态方程和观测方程为：

式(13)和式(14)中：Xk表示状态向量；下标k、k-1表示第k、k-1个历元；Φ表示状态转移矩阵；W表示系统噪声向量；L表示观测值向量；H表示系数阵；V表示观测噪声向量。其中状态向量为：

式中：δr表示三维位置坐标；r′表示三维速度；r″表示三维加速度。δr初始值采用单点定位结果、r′初始值根据多普勒观测值求解、r″初始值设为0 m/s2；ΔΔNni的初始值如下。

对于超宽巷模糊度ΔΔN(0，-1，1)：

式中：λ(0，-1，1)表示超宽巷观测值波长；Δ

对于宽巷模糊度ΔN(1，-1，0)的初值由MW(Melbourne-Wubeena)组合法求解[13]：

MW组合法消除了电离层延迟、对流层延迟以及与几何距离相关的误差项，提高了宽巷模糊度的估计无偏性。但由于伪距观测值观测噪声通常需要多历元平滑求解模糊度。

卡尔曼滤波是一个递归估计的过程，其主要的计算步骤如下。

1)状态预测。根据前一个历元的估值或滤波初始值得到下一个历元的状态向量和方程协方差阵。

式中：Qk，k-1表示系统噪声协方差阵。

2)滤波增益。根据预测的方差信息和当前历元的观测模型，计算滤波的增益矩阵。

式中：Kk表示增益矩阵；Rk表示观测误差方差阵。

3)滤波修正。根据增益矩阵和当前的观测值向量对滤波估值和方协方差矩阵更新。

式(21)中：vk表示观测方程残差项。通常对静态或匀速运动的观测数据进行处理时，系统噪声阵设为零矩阵；对于观测误差方差阵Rk，采用文献[14-15]方法进行设置。

通过卡尔曼滤波模型得到模糊度浮点解和方差协方差阵后，再利用LAMBDA法进行固定，并改正到组合观测值中进行定位解算。

4 算例分析

山东省2019年9月建设了124个站点构成的北斗卫星导航定位基准站 ，具备了BDS-3观测能力，采用省级卫星导航定位基准站1个和临时架设站2个实测数据进行测试分析，数据处理过程中可用卫星截止高度角设为15°，Ratio阈值设为3。具体数据信息如表3所示。

表3 静态数据信息

由于测站之间距离较近，3条基线的卫星数基本相同，以JN02为例对BDS-3卫星数进行分析。图1表示可观测卫星数和空间位置精度因子(position dilution of precision，PDOP)值变化。从图中可知：BDS-3卫星数基本维持在5～6颗且比较稳定，基本满足RTK定位的要求；PDOP值变化波动较大，初始历元时，PDOP值约为7.8，随时时间的推移，PDOP逐渐降低，其中在1 800历元时，卫星数增加至6颗，对应的PDOP值明显降低。

图1 PDOP和可视卫星数

4.1 BDS-3超宽巷滤波定位

超宽巷(0，-1，1)组合观测值卡尔曼滤波过程中逐历元用LAMBDA搜索模糊度并进行定位，图2显示了JN01、JN02和JN03组成的3条基线每个历元Ratio值变化，表4统计了相对应的模糊度固定率。从图2和表4中可知：BDS-3超宽巷模糊度固定率极高，其中JN01-JN02和JN02-JN03的模糊的固定率高达100%，主要是波长很长容易固定。

图2 Ratio值变化序列图

表4 模糊度固定率

图3～图5分别表示JN01、JN02、JN03的BDS-3超宽巷RTK卡尔曼滤波定位偏差，其中E、N和U方向上的误差分别由dE、dN和dU表示，相对应的定位结果RMS值见表5。从图3~图5、表5中可知：BDS超宽巷滤波RTK定位在E和N方向上的定位精度均在厘米级，高程精度约在分米级；除JN03-JN01由于基线距离较远，差分后残差较大平面精度在分米级，其余的平面精度均为厘米级。

图3 JN01-JN02超宽巷定位误差

图4 JN02-JN03超宽巷定位误差

图5 JN03-JN01超宽巷定位误差

表5 EWL定位RMS值

4.2 BDS-3宽巷滤波定位

宽巷(1，-1，0)组合观测值采用同样的处理分析，图6显示了JN01、JN02和JN03组成的3条基线每个历元的宽巷模糊度搜索Ratio值变化，表6统计了相对应的模糊度固定率。从图6和表6中可知：BDS-3宽巷模糊度固定率极高，其中JN01-JN02的模糊度固定率高达100%，其余两条基线99%以上。

图7～图9分别表示3条基线BDS宽巷RTK卡尔曼滤波定位偏差，同时统计了相对应的定位结果RMS值，见表7。从图7~图9、表7可知：BDS宽巷RTK定位在E、N和U方向上的定位精度均在厘米级，其整体精度也在厘米级。

图6 Ratio值变化

表6 模糊度固定率

图7 JN01-JN02宽巷定位误差

图8 JN02-JN03宽巷定位误差

图9 JN03-JN01宽巷定位误差

表4和表6比较可以看出，当Ratio=3时，超宽巷和宽巷模糊度固定率基本相当。表5和表7比较可以看出宽巷定位精度明显优于超宽巷，而定位偏差主要是观测误差引起的，其中超宽巷组合后的观测误差是宽巷组合误差的近11倍(表2)，因此超宽巷定位精度低于宽巷。

表7 WL定位RMS值

5 结束语

参考文献(略)

END

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引用格式：张海平.北斗三号中长基线RTK卡尔曼滤波算法[J].测绘科学，2020，45(12)：28-33,61.(ZHANG Haiping.An algorithm of BeiDou-3 real-time kinematic Kalman filter on medium-distances baseline[J]. Science of Surveying and Mapping，2020，45(12)：28-33,61.)