浅谈FFT算法在电机保护系统中的应用分析

DFT是连续傅里叶变换的离散形式。模拟信号x(t)的连续傅里叶变换可表示为：

x(t)经抽样后变为x(nT),:T为抽样周期。设x(n)为N点有限长序列，其DFT为:

由式(2)可以看出计算所有x(k)大约需要N2次乘法和N(N-1)次加法，运算过程非常复杂。
一般来说，由于x(n)和W_Nnk都是复数,X(k)也是复数，那么复数运算实际上可以通过实数运算来完成，式(2)则可以写成：

仔细观察DFT的运算，利用系数W_Nn的以下固有特性，可以减小DFT的运算量。
W_Nn的对称性为：

W_Nn的周期性为：

由此可以得到：

电流信号转换为电压信号之后，信号的采集、分析和处理过程如图3所示。

假设采集到的电机工作时的信号为一周期性信号，即输入的信号中除基波外，只包含恒定的直流分量和各种整次谐波分量。此时电流输入信号可以表示为:

其中，a₀、a_k、b_k为傅里叶系数

由数学定理可知周期函数可展开为傅里叶级数:

其中，式(7)和式(11)的各系数之间还有以下关系:

当采集到电压信号后，A_km和φ_k分别对应电压的k次谐波的幅值A_kmk次谐波的相位φ，由此可以计算出电压的k次谐波的有效值。得出系数之间的关系后还可以得到k次谐波的有功功率P_k、无功功率Q_k和视在功率S_k.

同时可以计算出k次谐波的电压含有率HRU_k ：

同理得到电压的谐波总失真度THD_U：

3基2时间抽取FFT算法的分析
设序列x[k]的长度为用N=2M为正整数，M为正整数，长度不满足该条件，可通过补0的方法使序列x[k]满足该条件。对长度为N的序列x[k]进行时间抽取，将其分解为两个
 
长度为N/2点的序列 ，分别为 ：

其中，x₁[k]是序列中偶数点构成的序列，x₂[k]是序列中奇数点构成的序列。
对x[k]进行DFT得：

由于旋转因子W_Nn拥有式(4)、式(5)和式(6)的特性,因此：

综上所述，可以表示为：

将式(22)和式(23)合并即可得到序列x[k]的DFT。蝶形计算结构如图4所示。

基2时间抽取FFT运算流图(N=8)如图5所示。

4仿真结果
实际中常常会遇到要求两个序列的线性卷积，如一个信号序列x(n)通过FIR滤波器时，其输出y(n)应是x(h)与h(n)的卷积：

有限长序列x(n)与h(n)的卷积结果y(n)也是一个有限长序列。假设x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2,则y(n)的长度为N1+N2-1。若通过补0使x(n)和h(n)都加长到N点,就可以用圆周卷积计算线性卷积。这样得到用FFT运算来求y(n)值(快速卷积)的步骤如下。
(1) 对序列x(n)和h(n)补0***为N,使得N≥N1+N2-1,,并且N=2M(M为整数)，即：

(2)用FFT计算x(n)与h(n)的离散傅里叶变换:

(3)计算XQ=X(QH(Q。
(4)用IFFT计算Y(k)的离散傅里叶反变换得：

例如，运用FFT实现序列x(n)=sin(0.4n),1≤n≤15与序列y(n)=0.9n,1≤n≤20之间的快速卷积，并测试直接卷积与快速卷积的时间，得到的卷积结果如图6所示。其中，运用快速卷积的时间为0.000033秒，运用直接卷积的时间为0.000049秒。很明显，运用FFT的快速卷积运算速度上优于宜接卷积。

5.安科瑞智能电动机保护器介绍
5.1产品介绍
智能电动机保护器(以下简称保护器)，采用单片机技术，具有抗干扰能力强、工作稳定可靠、数字化、智能化、 络化等特点。保护器能对电动机运行过程中出现的过载、断相、不平衡、欠载、接地/漏电、堵转、阻塞、外部故障等多种情况进行保护，并设有SOE故障事件记录功能，方便现场维护人员查找故障原因。适用于煤矿、石化、冶炼、电力、以及民用建筑等领域。本保护器具有RS485远程通讯接口，DC4-20mA模拟量输出，方便与PLC、PC等控制机组成 络系统。实现电动机运行的远程监控。
5.2技术参数
5.2.1数字式电动机保护器

5.2.2模块式电动机保护器

5.3产品选型